La verdad sobre el Problema de Monty Hall

El “Problema de Monty Hall” es un famoso problema de probabilidad, inspirado en el concurso televisivo estadounidense Trato hecho. Fue planteado por el matemático Steve Selvin en 1975 y popularizado por Marilyn vos Savant en 1990.

En términos simples, el problema es así:

Tienes tres puertas cerradas. Detrás de una hay un buen premio (digamos, mil dólares), y detrás de las otras dos, nada de interés (digamos, una escoba y un trapeador).

Solo puedes elegir una puerta, pero sin abrirla todavía.

Le dices al presentador cuál quieres abrir. El presentador sabe dónde está el premio y entonces abre una de las otras dos puertas que no elegiste, asegurándose de que no tenga el premio.

Ahora quedan dos puertas cerradas. Él te ofrece la opción de mantener tu elección inicial o cambiarte a la otra puerta.

¿Qué haces: la mantienes o la cambias?

La solución clásica dice que te conviene cambiar, porque tus probabilidades iniciales eran 1/3 para la puerta que elegiste y 2/3 para las otras dos, y al descartar una de ellas (porque ya se abrió), esos 2/3 se “concentran” en puerta restante. Según esta visión, cambiar siempre tiene más chances.

Pero si lo analizamos de forma literal, considerando todos los universos posibles (combinando las opciones tuyas y las del presentador), la historia cambia. En cada escenario, una vez que el presentador abre una puerta, quedan exactamente dos posibilidades igualmente probables: o tu elección inicial es correcta, o no lo es. Veamos todo el desglose:

Si eliges la puerta 1

• Premio en la 1, él abre la 2
  → cambias a la 3, pierdes.
• Premio en la 1, él abre la 3
  → cambias a la 2, pierdes.
• Premio en la 2, él abre la 3
  → cambias a la 2, ganas.
• Premio en la 3, él abre la 2
  → cambias a la 3, ganas.

Si eliges la puerta 2

• Premio en la 1, él abre la 3
  → cambias a la 1, ganas.
• Premio en la 2, él abre la 1
  → cambias a la 3, pierdes.
• Premio en la 2, él abre la 3
  → cambias a la 1, pierdes.
• Premio en la 3, él abre la 1
  → cambias a la 3, ganas.

Si eliges la puerta 3

• Premio en la 1, él abre la 2
  → cambias a la 1, ganas.
• Premio en la 2, él abre la 1
  → cambias a la 2, ganas.
• Premio en la 3, él abre la 1
  → cambias a la 2, pierdes.
• Premio en la 3, él abre la 2
  → cambias a la 1, pierdes.

Si contamos todos estos 12 "universos paralelos", vemos que en 6 escenarios, si cambias tu elección inicial ganas y, en los otros 6, si cambias pierdes. La elección final tiene la misma probabilidad de ganar: 50/50. Es decir, no importa si mantienes o cambias. La clave está en considerar las posibilidades condicionales combinando tu elección con la acción del presentador, y no solo agrupar probabilidades globales desde el inicio.

Conclusión: la solución clásica es engañosa porque no considera los escenarios individuales. En la práctica, después de que el presentador abre una puerta, mantener o cambiar es como lanzar una moneda.